Plimpton 322 — so Babilonci poznali Pitagorov izrek pred Pitagoro?

Petnajst vrstic, ki niso videti kot šolski izrek

Plimpton 322 je približno 12,7 centimetra široka in 8,8 centimetra visoka glinena tablica iz starobabilonskega obdobja, okvirno iz časa med letoma 1900 in 1600 pr. n. št. Danes jo hrani knjižnica redkih knjig in rokopisov Univerze Columbia v New Yorku. Cuneiform Digital Library Initiative jo evidentira kot predmet P254790, muzejska številka CULC 460. Ime izvira iz Plimptonove zbirke: številka 322 je zbirčna oznaka, ne ime starobabilonskega matematičnega pojma. [1, 2]

Na ohranjenem delu so štirje stolpci in petnajst vrstic. Zadnji stolpec označuje zaporedje vrstic, preostali vključujejo matematične vrednosti in klinopisne naslove stolpcev. Leva stran je odlomljena. Obseg izgubljenega dela ni potrjen; nekateri raziskovalci rekonstruirajo dodatne stolpce in drugačen prvotni razpon vrstic. Predlogi o dodatnih stolpcih ali daljšem seznamu niso isto kot ohranjeni fizični dokaz. [3–5]

Za današnjega bralca številke sprva ne povedo veliko. Za raziskovalce pa je odločilno, da se ne pojavljajo naključno. Med njimi so urejena razmerja, ki jih lahko povežemo s stranicami pravokotnikov in njihovimi diagonalami. Zaradi te urejenosti je tablica eden najbolj raziskanih starobabilonskih matematičnih predmetov. Zanimivo pri tem je tudi tisto, česar na njej ni: ni navodil za izdelavo določenega gradbenega objekta, ni neposredne omembe merjenja kotov in ni sodobno formuliranega splošnega geometrijskega dokaza. [2–4]

Od Mezopotamije do newyorške zbirke

Tablico pogosto povezujejo z mestom Larsa na območju današnjega Iraka. Toda zgodovina njene najdbe ni primerljiva s sodobnim arheološkim izkopavanjem, pri katerem bi bil natančno dokumentiran vsak sloj. V katalogu CDLI je Larsa izrecno navedena kot negotova provenienca. Stil pisave in matematični kontekst pomagata pri dataciji, ne moreta pa naknadno ustvariti manjkajočega zapisnika o prvotnem najdišču. [1, 3]

V začetku dvajsetih let 20. stoletja je tablico prodajalec starin Edgar James Banks prodal Georgeu Arthurju Plimptonu. Muzejski katalog navaja pridobitev v letih 1922/1923; ker zgodovinski zapisi ne določajo povsem enotnega leta, je to natančnejša navedba kot samo 1922. Po Plimptonovi smrti je njegova zbirka leta 1936 prešla na Univerzo Columbia. Tako je starobabilonski zapis postal del ameriške knjižnične zbirke, kjer so ga lahko strokovnjaki ponovno preučevali. [2, 5]

Takšna pot ni zgolj anekdota. Pri arheološkem predmetu je kraj najdbe lahko pomemben toliko kot napis na njem. Če bi natančno vedeli, v katerem arhivu, šoli, svetišču ali uradnem prostoru je tablica ležala, bi bilo lažje presoditi njen namen. Ker tega ne vemo, morajo raziskovalci izhajati predvsem iz ohranjenega besedila in primerljivih matematičnih tablic. Tudi zato zanesljivega izračuna ne smemo zamenjati za enako zanesljivo zgodbo o njegovem nastanku. [3]

Zakaj so Babilonci računali v šestdeseticah?

Najbolj očitna razlika med našo in starobabilonsko matematiko je v zapisu števil. Danes uporabljamo desetiški mestni sistem: desna števka predstavlja enice, naslednja desetice, nato stotice. Babilonski pisarji so uporabljali šestdesetiški mestni sistem. Posamezni položaji so imeli vrednosti ena, šestdeset, tri tisoč šeststo in tako naprej — ali pa ustrezne dele teh vrednosti, če je šlo za ulomke. [3, 4]

Pri eni možni določitvi velikostnega reda pomeni zapis `1:59` število `1 × 60 + 59`, torej 119, zapis `2:49` pa `2 × 60 + 49`, torej 169. Ta normalizacija je ustrezna pri primerjavi številskih razmerij tablice. Dvopičje je sodobna pomoč pri zapisu šestdesetiških mest, ne znak, ki bi ga starobabilonski pisar uporabljal natanko na današnji način. Starobabilonski položajni zapis praviloma ni vseboval našega znaka, ki bi določal mejo med celim in ulomljenim delom. Isto zaporedje znamenj je lahko glede na nalogo pomenilo vrednosti različnih velikosti. [3, 4]

Šestdeset ima veliko deliteljev — med drugim 2, 3, 4, 5 in 6. Zato je mogoče številne ulomke, ki jih v desetiškem sistemu težko izrazimo brez neskončnega decimalnega zapisa, v šestdesetiškem podati s končnim številom mest. Babilonski pisarji so uporabljali tudi tablice recipročnih vrednosti, ki so olajšale računanje. A to ne pomeni, da so lahko brez približkov natančno zapisali vsak ulomek ali da v njihovih računih ni bilo napak. Pomeni, da so razvili učinkovit računski jezik, prilagojen lastni matematični tradiciji. [3, 4]

Šestdesetiška delitev je prepoznavna tudi v našem merjenju časa in kotov. Za razumevanje Plimpton 322 pa je pomembno predvsem to, da je položajni zapis omogočal učinkovito računanje z izbranimi razmerji; ni dokazov, da bi tablica služila časomerstvu.

Številke 119, 120 in 169

Oglejmo si prvo ohranjeno vrstico. V stolpcu, ki ga raziskovalci razlagajo kot eno od stranic pravokotnika, stoji zapis `1:59`, v stolpcu diagonale pa `2:49`. Če oba preberemo v ustreznem razmerju celih števil, dobimo 119 in 169. Drugo stranico pravokotnika, 120, lahko matematično rekonstruiramo, vendar ni neposredno zapisana kot samostojen podatek te vrstice. [3, 4]

Če iz teh treh vrednosti sestavimo pravokotni trikotnik, dobimo enakost:

119² + 120² = 169²

Po izračunu dobimo:

14.161 + 14.400 = 28.561.

Enakost velja natančno, brez zaokroževanja. Manjkajočo dolžino v današnjem računu dobimo tako, da od kvadrata diagonale odštejemo kvadrat ene stranice: 169² − 119² = 14.400. Kvadratni koren je 120. To je razumljiv sodoben prikaz rekonstrukcije, ne dokumentiran prepis postopka, s katerim je razmišljal babilonski pisar. Do enakih rezultatov je mogoče priti po različnih poteh. Šestdesetiška aritmetika, recipročni pari in pravila za izračun diagonal so zgodovinsko relevantni, toda tablica ne vsebuje izrecnega navodila, kateri postopek je njen avtor uporabil.

Z današnjega stališča gre za pitagorejsko trojico: tri cela števila, ki lahko predstavljajo stranice pravokotnega trikotnika. Druge vrstice kažejo, da ne gre za naključno sovpadanje, temveč za urejen seznam sorodnih razmerij. [2–4]

V prvem ohranjenem stolpcu iste vrstice je zapis, ki ga raziskovalci v sodobni šestdesetiški notaciji prikazujejo kot `1;59,00,15`. Podpičje v tem sodobnem zapisu označuje mejo med celim in ulomljenim delom, vejice pa ločujejo šestdesetiška mesta. Ta vrednost je enaka naslednjemu razmerju kvadratov (v prikazani normalizaciji):

(169 ÷ 120)² = 28.561 ÷ 14.400 = 1 + 59/60 + 15/216.000.

Sama tablica ne izpisuje ulomka s sodobno črto in ne vsebuje formule, kot jo poznamo iz učbenikov. Matematična ekvivalenca nam pove, kako ohranjene vrednosti medsebojno ustrezajo; ne pove pa še vsega o tem, kako je pisar problem pojmoval. [3, 4]

Tudi v enajsti vrstici iz ohranjenih vrednosti 45 in 75 dobimo rekonstruirano drugo stranico 60. Velja:

45² + 60² = 75².

Če vse tri dolžine delimo s 15, dobimo razmerje 3 : 4 : 5. Prvi stolpec te vrstice je pri ustrezni normalizaciji enak `1;33,45`, torej (75 ÷ 60)² = 25/16. Tudi tu lahko preverimo razmerje, ne moremo pa iz samega vnosa brez ostalih dokazov prebrati avtorjevega izvirnega postopka. [3, 4]

Ali gre za Pitagorov izrek — in kdo ga je »odkril«?

V sodobni obliki Pitagorov izrek pravi, da je v pravokotnem trikotniku vsota kvadratov dolžin katet enaka kvadratu dolžine hipotenuze. Zgoraj navedeni razmerji takšno zvezo nedvomno izpolnjujeta. Plimpton 322 zato dokazuje, da so v starobabilonski matematiki znali sistematično obravnavati primere, ki jih danes razumemo s tem izrekom. [2–4]

Vendar moramo ločiti primer, pravilo in dokaz. Izračun, ki pravilno povezuje določena števila, ni sam po sebi isto kot ohranjen splošni dokaz, ki bi pokazal, da razmerje velja za vsak pravokotni trikotnik. Prav tako oznaka »Pitagorov izrek« ne dokazuje, da je Pitagora osebno prvi odkril geometrijsko razmerje. Takšna poimenovanja pogosto odražajo poznejšo tradicijo, ne popolnega seznama vseh predhodnih odkritij.

Pitagora je živel približno tisočletje po nastanku tablice. Plimpton 322 zato jasno zavrača poenostavljeno predstavo, da se je poznavanje takšnih številskih razmerij začelo šele v grškem svetu. Ne omogoča pa nasprotne poenostavitve, da je določen Grk točno to tablico videl ali da je njegovo izročilo samo prepis starejše babilonske matematike. Za takšno trditev bi potrebovali dokaze o konkretnih poteh prenosa znanja. [2, 3]

Morda je pravo zgodovinsko vprašanje drugačno: kako so različne kulture razvile učinkovite načine za obravnavo istih geometrijskih razmerij, včasih z različnimi orodji in pojmi? Babilonski pisar se je lahko spraševal o širini, dolžini, diagonali, kvadratu in postopku izračuna. Grška dokazovalna tradicija je pozneje matematična razmerja izrazila tudi v drugačnem abstraktnem jeziku. Med obema obstajajo podobnosti, razlike in vprašanja, na katera ohranjeno gradivo še ne odgovarja.

Šolski pripomoček ali matematična raziskava?

Leta 1945 sta Otto Neugebauer in Abraham Sachs objavila analizo, po kateri je Plimpton 322 postala svetovno znana kot izjemen zapis pitagorejskih trojic. Toda matematični pomen števil ni isto kot rešitev vprašanja, zakaj je nastal njihov urejen seznam. Ta vprašanja so pozneje spodbudila več različnih raziskovalnih pristopov. [1–4]

Zgodovinarka matematike Eleanor Robson je leta 2001 poudarila, da starodavnega predmeta ne smemo obravnavati kot osamljene uganke, v katero lahko projiciramo današnje matematične kategorije. Preverila je jezik naslovov stolpcev, znane babilonske računske postopke, obliko tablice in primerjave s šolskimi besedili. Njena razlaga predlaga, da bi bila tablica lahko učiteljev pripomoček: urejen seznam za pripravljanje nalog in preverjanje rezultatov pri poučevanju matematičnih postopkov. [3, 6]

Takšna razlaga ima zgodovinsko prednost: starobabilonski pisarji so se matematike učili s pomočjo seznamov, zgledov in postopkov. Primerjava z drugimi šolskimi tablicami pojasni, zakaj bi nekdo hranil izračunane vrednosti v preglednici. Toda sama primerjava s šolskimi besedili še ne dokazuje, da je bilo to dejansko tabličino edino ali prvotno opravilo. Manjkajoči deli tablice in odsotnost jasnega navodila za njeno uporabo pomenijo, da je funkcija pripomočka še vedno rekonstrukcija. [3]

Drugačno interpretacijo sta Daniel F. Mansfield in Norman J. Wildberger leta 2017 razvila s tezo, da gre za zgodnjo obliko natančne trigonometrije, zasnovane na razmerjih. Po njuni interpretaciji seznam omogoča povezovanje različnih razmerij stranic pravokotnih trikotnikov brez uporabe sodobnega merjenja kotov, sinusov ali kosinusov. To je pomembna razlika od trditve, da je na tablici že zapisana današnja trigonometrična tabela. [4]

Njuna interpretacija je pritegnila veliko javne pozornosti, zlasti zaradi možnosti, da bi tablico imenovali zgodnja trigonometrična tabela. Toda obstoj strokovno recenziranega članka ne pomeni, da je interpretacija postala splošno sprejeta. Različni raziskovalci se lahko strinjajo o izjemni matematični vsebini, a se še vedno ne strinjajo, ali je najprimernejša oznaka »trigonometrija«, »seznam geometrijskih nalog« ali »raziskava številskih razmerij«. Tudi zelo natančni izračuni sami ne odločijo med temi možnostmi. [3, 4, 7]

Zakaj je Mansfield leta 2021 pogledal predvsem pravokotnike

Mansfield je leta 2021 svojo razlago dodatno razvil. V članku Plimpton 322: A Study of Rectangles je izhajal iz dejstva, da Mezopotamci niso potrebovali sodobne pojmovne sheme trigonometričnih funkcij, da bi jih zanimale dolžine stranic in diagonal pravokotnikov. Proučeval je pravokotnike z računsko ugodnimi stranicami in deljivost posameznih dolžin, nato pa predlagal povezavo s teoretičnimi vprašanji, ki so jih lahko spodbudile potrebe zemljemerstva. [5]

V tej razpravi je pomembno širše okolje. V Mezopotamiji so geometrijske naloge nastajale tudi pri upravljanju polj, določanju meja in merjenju površin. Mansfield kot primer iz iste zgodovinske kulture obravnava tablico Si.427, ki vsebuje načrt zemljišča. Ta ločeni dokument kaže, da je uporaba razmerij pri geometriji in zemljemerstvu realna zgodovinska tema, ne zgolj sodobna domislica. [5]

Toda prav tu mora biti razlaga natančna. Si.427 ni Plimpton 322. Dokaz, da so nekatere babilonske geometrijske metode uporabljali pri zemljiščih, še ne dokazuje, da je prav seznam na Plimpton 322 služil geodetu. Mansfieldova razlaga poudarja teoretično preučevanje pravokotnikov, ki bi ga lahko neposredno ali posredno spodbujale potrebe zemljemerstva; povezava za prav to tablico ostaja hipoteza. Boljša hipoteza ni nujno dokončna rešitev. [5]

V okviru starobabilonske pisarske kulture poučevanje, izdelava seznamov in geometrijska praksa niso nujno sestavljali treh popolnoma ločenih svetov. Odprto zato ni le vprašanje, katera sodobna oznaka najbolje ustreza tablici, temveč tudi, kako so takratni strokovnjaki povezovali računsko znanje z vsakdanjimi nalogami.

Tudi na izjemni tablici so napake

Tudi v Plimpton 322 so prepoznane napake v posameznih številskih vnosih. Raziskave jih ne preštevajo povsem enotno: Mansfield (2021) obravnava pet, druge analize razpravljajo o šestih, odvisno od razlage in združevanja napak. Del nepravilnosti je mogoče pojasniti s prepisovanjem znamenj, za druge se predlagajo napake pri računanju ali pri delu s šestdesetiškimi mesti. Zato število napak ne pove neposredno, koliko je pisar računal napačno: isti nepravilni zapis lahko nastane pri različnih korakih nastajanja tablice. [3–5]

To odkritja ne zmanjša. Ravno nasprotno: spominja nas, da so tablico izdelali ljudje, ki so računali, zapisovali, popravljali in včasih delali napake. Njena urejenost dokazuje veliko računsko spretnost, napake pa pomagajo raziskovalcem preučevati potek računanja. V posameznih razlagah niso motnja, ki jo moramo skriti, temveč pomembna sled o tem, kako so nastali rezultati.

Podobno velja za odlomljeni levi rob. Nekateri sodobni modeli predvidevajo dodatne stolpce in bistveno daljši prvotni seznam; Mansfield in Wildberger sta objavila razširjeno matematično rekonstrukcijo s 38 vrsticami. To je model mogoče širše tabele, ne dokaz, da je bilo preostalih 23 vrstic fizično napisanih na izgubljenem delu. Dejansko je ohranjenih 15 vrstic. [4, 5]

Zanesljivo zgodovinsko znanje ne pomeni, da zapolnimo vse vrzeli. Pomeni, da povemo, na katerih mestih sklepamo iz predmetov, kje uporabljamo matematično logiko in kje nam ostanejo le primerljive možnosti.

Kaj Plimpton 322 zares spreminja?

Tablica ne potrjuje obstoja sodobnih trigonometričnih funkcij v starobabilonski matematiki. Če od nje pričakujemo dokaz, da je Pitagora prisvojil točno določeno starejše besedilo, ga prav tako ne bomo našli. Nobena od teh trditev ni potrebna za razumevanje pomembnosti predmeta.

Že tisto, kar je mogoče preveriti, je dovolj: starobabilonski pisarji so znali računati z natančnimi razmerji stranic in diagonal, urejati zahtevne matematične podatke ter uporabljati postopke, ki jih danes lahko razložimo s pitagorejskimi trojicami. In to so počeli dolgo pred grško matematično tradicijo, s katero so ta razmerja pogosto povezana v sodobnem šolskem jeziku.

Pomen Plimpton 322 je zato dvojni. Pove nekaj pomembnega o zgodovini matematike, obenem pa pokaže, kako zlahka izničimo zgodovinsko posebnost predmeta, kadar ga prehitro opremimo s sodobno oznako. Babilonske matematike ni treba prikazati kot nepopolno predhodnico Grkov — in tudi ne kot izgubljeno sodobno znanost. Razumeti jo moramo v njeni lastni logiki, skupaj z njenimi postopki, omejitvami in dosežki.

Na majhnem kosu gline je ostalo dovolj števil, da lahko njihove povezave danes preverimo do zadnjega ulomka. Ni pa ostalo dovolj podatkov, da bi brez dvoma povedali, za kaj je njegov izdelovalec uporabljal tabelo. Prav ta razlika med matematično gotovostjo in zgodovinsko negotovostjo je najdragocenejše sporočilo Plimpton 322.

Uredniška opomba: Šestdesetiški zapisi in enačbe uporabljajo sodobno notacijo. Rekonstruirane dolžine in razširjeni seznami niso dobesedno prepisani z ohranjene tablice. Matematične zveze je mogoče preveriti, prvotnega namena seznama pa ne moremo z enako stopnjo gotovosti dokazati.